Формули за съкратено умножение
Седемте формули, които се учат в 7. клас, с примери, проверка с числа и упражнение. Задайте a и b и вижте, че двете страни на всяка формула дават един и същ резултат.
Проверка с числа
| Формула | Лява страна | Дясна страна | Равни |
|---|---|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | 64 | 64 | ✓ |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | 4 | 4 | ✓ |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | 16 | 16 | ✓ |
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | 512 | 512 | ✓ |
| (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | 8 | 8 | ✓ |
| a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | 152 | 152 | ✓ |
| a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | 98 | 98 | ✓ |
Примерните стойности са за a = 5 и b = 3. Променете ги - редовете се преизчисляват.
Упражнение: проверете се
Квадрат на сбор и разлика
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Извеждане: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Геометрично: квадрат със страна a + b се разделя на квадрати a² и b² и два правоъгълника ab. Пример: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601; 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
Разлика на квадрати
a² − b² = (a − b)(a + b)
Пример: 101 · 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 100² − 1 = 9999; 998 · 1002 = 1000² − 2² = 999 996. При разлагане: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 4a² − 25 = (2a − 5)(2a + 5).
Куб на сбор и разлика
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Пример: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8. Коефициентите 1, 3, 3, 1 са от триъгълника на Паскал.
Сбор и разлика на кубове
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Пример: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); 27 + y³ = (3 + y)(9 − 3y + y²). Внимание: втората скоба не се разлага допълнително с реални числа.
Чести грешки
- Пише се (a + b)² = a² + b² - липсва удвоеното произведение 2ab.
- Знакът пред 2ab при (a − b)² е минус, а пред b² - винаги плюс.
- При a² − b² не се бърка с (a − b)² - разликата на квадрати няма средна част.
- При степенуване на произведение: (2x)² = 4x², а не 2x².
Къде се изучават
Формулите за съкратено умножение са основна тема в Цели изрази за 7. клас и се използват в рационалните изрази, при решаване на квадратни уравнения и в подготовката за НВО в 7. клас. Резултатите можете да проверите в инструмента за решаване на задачи - въведете (x+2)^3 и вижте разкритите скоби.
Често задавани въпроси
Кои са формулите за съкратено умножение?
Квадрат на сбор (a + b)² = a² + 2ab + b²; квадрат на разлика (a − b)² = a² − 2ab + b²; разлика на квадрати a² − b² = (a − b)(a + b); куб на сбор и на разлика; сбор и разлика на кубове - всички са в таблицата по-горе.
Защо (a + b)² не е равно на a² + b²?
Защото при повдигане на квадрат се умножава всеки член с всеки: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b², а средните членове дават 2ab. При a = 3, b = 4: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.
За какво служат тези формули?
За бързо пресмятане (99² = (100 − 1)² = 9801), за разлагане на изрази на множители (x² − 9 = (x − 3)(x + 3)) и за опростяване на дробни изрази и решаване на уравнения.
Как да ги запомня?
Разберете откъде идват - разкрийте скобите поне веднъж - и ги упражнявайте в двете посоки: от скобите към сбора и от сбора към скобите. Таблицата и упражнението по-горе са за това.
Още по темата
Страницата е обновена на 29 септември 2026 г..