Дискриминанта и квадратно уравнение
Дискриминантата D = b² − 4ac показва колко реални корена има квадратното уравнение ax² + bx + c = 0. Калкулаторът по-долу намира D, корените, формулите на Виет и върха на параболата.
D = b² − 4ac
Калкулатор за квадратно уравнение
ax² + bx + c = 0
Упражнение: проверете се
Квадратно уравнение и дискриминанта
Квадратното уравнение има вида ax² + bx + c = 0, където a ≠ 0. За да го решите, първо намирате дискриминантата D = b² − 4ac. Тя „решава“ дали има реални корени, защото стои под корена във формулата за корените.
| Дискриминанта | Корени | Парабола y = ax² + bx + c |
|---|---|---|
| D > 0 | два различни | пресича оста Ox в две точки |
| D = 0 | един двоен | допира оста Ox |
| D < 0 | няма реални | не пресича оста Ox |
Формула за корените
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
Пример 1. x² − 5x + 6 = 0: a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1, така че x = (5 ± 1) / 2, тоест x₁ = 2, x₂ = 3.
Пример 2. x² − 2x + 1 = 0: D = 4 − 4 = 0 → един двоен корен x = 2/2 = 1.
Пример 3. x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0 → няма реални корени.
Пример 4. 2x² − 3x − 2 = 0: D = 9 + 16 = 25 → x = (3 ± 5) / 4, тоест x₁ = −1/2, x₂ = 2.
Формули на Виет
Ако x₁ и x₂ са корените, то x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a. За x² − 5x + 6 = 0: сборът е 5, а произведението е 6 - и наистина 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6. Формулите позволяват да съставите уравнение по корени и да проверите резултата: уравнението с корени 2 и 3 е x² − 5x + 6 = 0. Разлагане: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), например x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Специални случаи
- b = 0 (ax² + c = 0): x² = −c/a. Например x² − 9 = 0 → x = ±3. Не е нужна дискриминанта.
- c = 0 (ax² + bx = 0): изнасяме x пред скоба: x(ax + b) = 0 → x = 0 или x = −b/a.
- Четно b (b = 2k): удобна е D₁ = k² − ac и x = (−k ± √D₁) / a.
Парабола
Графиката на y = ax² + bx + c е парабола с връх в точка (−b/2a; c − b²/4a). Клоните са нагоре при a > 0 и надолу при a < 0. Дискриминантата казва колко пъти параболата пресича оста Ox. Свързаните теми са Функции за 9. клас и Екстремални задачи за 12. клас.
Къде се учи и упражнява
Квадратните уравнения се изучават в 8. клас, продължават със системи от втора степен и са част от подготовката за НВО в 10. клас. За бърза проверка на всякакво уравнение ползвайте и инструмента за решаване на задачи; за преработване на изрази - формулите за съкратено умножение.
Често задавани въпроси
Каква е формулата за дискриминанта?
За квадратно уравнение ax² + bx + c = 0 дискриминантата е D = b² − 4ac. Някои учебници я наричат „дискриминант“, други - „дискриминанта“ (женски род); значението е едно и също.
Колко корена има уравнението според дискриминантата?
Ако D > 0 - два различни реални корена; ако D = 0 - един двоен корен; ако D < 0 - няма реални корени.
Как се намират корените?
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). При D = 0 двата корена съвпадат: x = −b / (2a).
Какво са формулите на Виет?
Ако x₁ и x₂ са корените на ax² + bx + c = 0, то x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a. С тях можете да проверите корените, без да ги заместите.
Още по темата
Страницата е обновена на 29 септември 2026 г..