Какво влиза в темата
Последната тема в училищния курс търси най-голяма и най-малка стойност — задача, която след дванадесети клас става производна, но тук се решава с алгебрични средства.
Линейна функция в затворен интервал
y = kx + m е монотонна навсякъде, затова екстремумите ѝ в затворен интервал [p; q] са винаги в краищата — при k > 0 най-малката стойност е в p, най-голямата в q; при k < 0 обратно. Не е нужно да се търси нищо по средата.
Квадратна функция
Ако интервалът съдържа върха x = −b/(2a), екстремумът там е глобален за параболата. Ако интервалът не го съдържа, функцията е монотонна в него и екстремумите отново са в краищата — както при линейната.
Решен пример
Намерете най-малката стойност на y = x² − 4x + 7 в интервала [0; 5].
Върхът е при x = 4/2 = 2, което е в интервала.
y(2) = 4 − 8 + 7 = 3 — това е най-малката стойност.
Най-голямата се проверява в краищата: y(0) = 7, y(5) = 12, значи е 12 при x = 5.
Елементарни неравенства между средни величини
За положителни числа a и b:
средно хармонично ≤ средно геометрично ≤ средно аритметично ≤ средно квадратично
Най-използваното е средно аритметично–геометрично: (a + b)/2 ≥ √(ab), с равенство точно когато a = b. Оттук следва класически резултат: при зададен периметър квадратът има най-голямо лице сред всички правоъгълници.
Екстремални задачи в планиметрията
Обичайната схема: въвежда се едно неизвестно (например страна на правоъгълник), другите величини се изразяват чрез него по дадено условие (например периметър), съставя се функция за търсената величина (лице, обем) и се намира екстремумът ѝ.
Втори решен пример
От тел с дължина 40 cm се прави правоъгълник. Какви трябва да са страните, за да е лицето най-голямо?
Периметърът е фиксиран: 2(a + b) = 40, значи a + b = 20, тоест b = 20 − a.
Лицето: S(a) = a(20 − a) = 20a − a², парабола с връх при a = 10.
Значи a = b = 10 cm — правоъгълникът е квадрат, а най-голямото лице е
100 cm².
Този резултат съвпада точно с неравенството между средно аритметично и геометрично: равенството там настъпва при a = b.
Чести грешки
- Търсене на връх на парабола извън зададения интервал.
- Прилагане на неравенството AM–GM за числа, които не са положителни.
- Пропусната проверка на краищата на интервала при линейна функция.