Какво влиза в темата
Неравенствата минават през същите четири типа изрази като предишната тема, но с допълнително внимание към посоката на неравенството.
Модулни неравенства
|ax + b| < c (при c > 0) е равносилно на двойното неравенство −c < ax + b < c.
|ax + b| > c е равносилно на ax + b < −c или ax + b > c — решението е
обединение на два лъча, не пресечен интервал.
Разликата между „и“ при по-малко и „или“ при по-голямо е най-важното за запомняне в темата.
Решен пример
Решете |2x − 3| ≤ 5.
Равносилно на −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5.
Прибавяме 3: −2 ≤ 2x ≤ 8.
Делим на 2: −1 ≤ x ≤ 4.
Ирационални неравенства
√(f(x)) < g(x) изисква едновременно f(x) ≥ 0, g(x) > 0 и f(x) < [g(x)]² — три условия, чието сечение дава отговора. Пропускането на кое да е от тях води до грешен интервал.
Показателни неравенства
aˣ > aⁿ. Ако a > 1 (растяща функция), запазва се посоката: x > n. Ако 0 < a < 1 (намаляваща функция), посоката се обръща: x < n.
Точно както при деление с отрицателно число в линейните неравенства — основата под 1 обръща знака.
Логаритмични неравенства
logax > logan. При a > 1 запазва посоката: x > n. При 0 < a < 1 я обръща: x < n. И в двата случая се изисква x > 0 като допустима стойност, която се пресича с полученото решение.
Втори решен пример
Решете log₂x > 3.
Основата 2 > 1, значи посоката се запазва: x > 2³ = 8.
Заедно с допустимото x > 0, решението е x > 8.
Чести грешки
- „И“ и „или“ разменени при модулно неравенство.
- Необърнат знак при основа между 0 и 1.
- Пропусната допустима стойност при логаритмично неравенство.