Какво влиза в темата
Надграждане на линейните неравенства от седми клас. Основният нов инструмент е методът на интервалите, който работи и за квадратни, и за дробни, и за неравенства от по-висока степен.
Метод на интервалите
Схемата е:
- Всичко се прехвърля от едната страна, за да остане сравнение с нула.
- Изразът се разлага на множители.
- Намират се нулите и се нанасят на числова ос.
- Определя се знакът във всеки интервал и се отчитат тези, които отговарят на неравенството.
Полезно правило: при прости нули знакът се сменя при всяко преминаване, така че стига да се провери в един интервал и останалите се редуват.
Решен пример
Решете x² − 5x + 6 > 0.
Разлагаме: (x − 2)(x − 3) > 0. Нулите са 2 и 3.
Проверяваме в интервала над 3, например x = 4: (2)(1) = 2 > 0 ✓.
Знаците се редуват, значи между 2 и 3 е отрицателно, а под 2 — положително.
Решение: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Същият резултат се вижда и от параболата: при a > 0 тя е над оста извън корените.
Дробни неравенства
Никога не се умножава кръстосано, защото знакът на знаменателя е неизвестен. Вместо това всичко се прехвърля от едната страна, привежда се под общ знаменател и се прилага методът на интервалите за цялата дроб.
Нулите на знаменателя се нанасят на оста, но винаги се изключват от решението — дори при нестрого неравенство.
Системи неравенства
Решава се всяко поотделно и се взима сечението на решенията — най-нагледно на числова ос. При „или“ се взима обединението.
Чести грешки
- Кръстосано умножение при дробно неравенство.
- Включен нул на знаменателя в решението.
- Обединение вместо сечение при система.