Какво влиза в темата
Рационалните изрази са дроби, в чийто знаменател има променлива. Темата съчетава разлагането от седми клас с квадратните уравнения от осми.
Допустими стойности
Първата стъпка при всяка задача е да се определи кога знаменателят е нула — тези стойности се изключват. За израза 1/(x² − 9) недопустими са x = 3 и x = −3.
Това не е формалност. При дробните уравнения точно тук се отсяват чуждите корени.
Съкращаване
Съкращава се само общ множител, никога отделно събираемо. Затова (x² − 9)/(x + 3) първо се разлага на (x − 3)(x + 3)/(x + 3) и чак тогава се съкращава до x − 3.
Изразът (x + 5)/5 не се съкращава. Това е най-честата грешка в темата и си струва да се провери с число: при x = 5 дробта е 2, а „съкратеното“ x би дало 5.
Действията
- Събиране и изваждане — след привеждане под общ знаменател, който е НОК на разложените знаменатели.
- Умножение — числител по числител, знаменател по знаменател, със съкращаване преди умножаването.
- Деление — умножение с обърнатата дроб.
Дробни уравнения
Схемата е винаги една и съща: определят се допустимите стойности, умножава се с общия знаменател, решава се полученото линейно или квадратно уравнение, и накрая се проверява дали корените са допустими.
Решен пример
Решете 1/x + 1/(x − 2) = 3/4.
Допустими: x ≠ 0 и x ≠ 2.
Умножаваме с 4x(x − 2): 4(x − 2) + 4x = 3x(x − 2).
8x − 8 = 3x² − 6x, откъдето 3x² − 14x + 8 = 0.
D = 196 − 96 = 100, значи x = (14 ± 10)/6, тоест x₁ = 4 и
x₂ = 2/3. И двата са допустими.
Чести грешки
- Съкращаване на събираеми вместо на множители.
- Пропуснати допустими стойности и записан недопустим корен.
- Умножение само на част от уравнението с общия знаменател.