Какво влиза в темата
Последната тема в осми клас свързва окръжността с многоъгълниците и въвежда четирите забележителни точки на триъгълника.
Описана окръжност
Минава през трите върха. Центърът ѝ е пресечната точка на симетралите на страните, защото всяка точка от симетралата е на равни разстояния от краищата на отсечката.
Полезно наблюдение: при остроъгълен триъгълник центърът е вътре, при правоъгълен е върху средата на хипотенузата, при тъпоъгълен е извън триъгълника.
Вписана окръжност
Допира се до трите страни. Центърът е пресечната точка на ъглополовящите, защото всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от рамената.
Двете двойки лесно се бъркат. Мнемониката: симетралите пазят разстояние до върхове, значи описана; ъглополовящите пазят разстояние до страни, значи вписана.
Четирите забележителни точки
- Център на описаната — симетрали
- Център на вписаната — ъглополовящи
- Медицентър — медиани, дели ги 2 : 1 от върха
- Ортоцентър — височини
Вписан четириъгълник
Четириъгълник може да се впише в окръжност тогава и само тогава, когато сборът на срещуположните му ъгли е 180°.
Оттук следва, че всеки правоъгълник и всеки равнобедрен трапец са вписани, но произволен успоредник и произволен ромб — не.
Описан четириъгълник
Може да се опише около окръжност тогава и само тогава, когато сборовете на срещуположните страни са равни: a + c = b + d.
Двете условия са лесни за смесване. Едното говори за ъгли, другото за страни.
Решен пример
Вписан четириъгълник има ъгли 85° и 100° при два съседни върха. Намерете другите два.
Срещуположният на 85° е 180 − 85 = 95°.
Срещуположният на 100° е 180 − 100 = 80°.
Проверка: 85 + 100 + 95 + 80 = 360° ✓.
Чести грешки
- Разменени симетрали и ъглополовящи.
- Условието за вписан четириъгълник, приложено към съседни ъгли.
- Смесване на условието за вписан с това за описан.