Питагорова теорема

Какво казва теоремата

Правоъгълният триъгълник има един прав ъгъл. Двете страни, които го сключват, се наричат катети, а срещуположната страна - хипотенуза. Питагоровата теорема свързва трите страни: a² + b² = c². Геометрично: лицето на квадрата върху хипотенузата е равно на сбора от лицата на квадратите върху катетите.

Как се ползва

• Търсим хипотенузата: c = √(a² + b²). При a = 3 и b = 4: c = √(9 + 16) = √25 = 5.
• Търсим катет: a = √(c² − b²). При c = 13 и b = 12: a = √(169 − 144) = 5.

Квадратните корени са обяснени в темата Квадратен корен за 8. клас. Ако числото под корена не е точен квадрат, отговорът е приближен - например при катети 1 и 1: c = √2 ≈ 1,414.

Питагорови тройки

Тройки цели числа, за които a² + b² = c², се наричат питагорови. Най-известните:

Всяка тройка, умножена по едно и също число, дава нова: (3, 4, 5) → (6, 8, 10) → (9, 12, 15). Затова триъгълник със страни 3, 4, 5 е правоъгълен, както и 30, 40, 50.

Обратна теорема

Ако три страни удовлетворяват a² + b² = c² (c е най-голямата), триъгълникът е правоъгълен. Ако a² + b² > c², е остроъгълен, а ако a² + b² < c² - тъпоъгълен. Пример: 4, 5, 6 → 16 + 25 = 41 > 36, остроъгълен; 2, 3, 4 → 4 + 9 = 13 < 16, тъпоъгълен.

Решени задачи

Стълба. Стълба с дължина 5 м опира в стена, а основата ѝ е на 3 м от нея. Колко високо достига? h = √(5² − 3²) = √16 = 4 м.

Диагонал на правоъгълник. Правоъгълник 6 × 8 има диагонал √(36 + 64) = √100 = 10 (вижте лице на правоъгълник).

Диагонал на квадрат. При страна 5 диагоналът е √(25 + 25) = 5√2 ≈ 7,07.

Височина в равнобедрен триъгълник. Бедро 5, основа 6: височината разполовява основата → h = √(25 − 9) = 4, а лицето е 6 · 4 / 2 = 12 (лице на триъгълник).

Къде се учи

Теоремата се изучава в Метрични зависимости между отсечки за 9. клас и се обобщава в Решаване на триъгълник за 10. клас. Прилага се и при ромб (страната по диагоналите) и конус (образуваща). Формулата е в справочника Геометрия.

Често задавани въпроси

Каква е формулата на Питагоровата теорема?

a² + b² = c², където a и b са катетите, а c е хипотенузата (страната срещу правия ъгъл). Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълния триъгълник.

Как се намира катет, ако знаем хипотенузата и другия катет?

a = √(c² − b²). Например при c = 13 и b = 12: a = √(169 − 144) = √25 = 5.

Важи ли Питагоровата теорема за всеки триъгълник?

Не, само за правоъгълни. За произволен триъгълник се ползва косинусовата теорема c² = a² + b² − 2ab·cos γ, която при γ = 90° (cos 90° = 0) се свежда до Питагоровата.

Какво е обратната теорема?

Ако за страните на триъгълник е изпълнено a² + b² = c², то триъгълникът е правоъгълен с хипотенуза c. Така се проверява дали ъгълът е прав - например 7, 24, 25: 49 + 576 = 625 = 25², значи е правоъгълен.

Още по темата

• Лице на триъгълник
• Лице и обиколка на правоъгълник и квадрат
• Лице на ромб
• Метрични зависимости между отсечки (9. клас)
• Квадратен корен (8. клас)
• Решаване на триъгълник (10. клас)

Всички калкулатори, формули и справочници →

Страницата е обновена на 29 септември 2026 г..