Какво влиза в темата
В девети клас тригонометрията работеше само в правоъгълен триъгълник и само за остри ъгли. Тук интервалът се разширява до [0°; 180°] и с две теореми става възможно решаването на произволен триъгълник.
Тъпи ъгли
За ъгли между 90° и 180° важи: sin(180° − α) = sin α, а cos(180° − α) = −cos α. Тоест синусът остава положителен, а косинусът сменя знака. Затова при косинусовата теорема тъпият ъгъл дава отрицателен косинус и събираемото се превръща в събиране, а не изваждане.
Синусова теорема
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
Използва се, когато знаете страна и срещулежащия ѝ ъгъл. Внимание: понеже sin α = sin(180° − α), от синуса не може еднозначно да се определи ъгълът — възможни са два триъгълника. Проверява се кой отговаря на условието.
Косинусова теорема
c² = a² + b² − 2ab · cos γ
Използва се в два случая: когато знаете две страни и ъгъла между тях, и когато знаете и трите страни. При γ = 90° косинусът е нула и формулата се превръща в Питагоровата теорема — тя е частен случай.
Решен пример
Триъгълник има a = 5, b = 8 и ъгъл γ = 60° между тях. Намерете c.
c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 89 − 80 · 0,5 = 89 − 40 = 49.
Значи c = 7.
Лице на триъгълник
- S = a·ha / 2 — през основа и височина
- S = a·b·sin γ / 2 — през две страни и ъгъла между тях
- S = abc / 4R — през описаната окръжност
- S = p·r — през полупериметъра и вписаната окръжност
Изборът на формула зависи от това какво е дадено. На изпит най-често се търси втората.
Чести грешки
- Пропуснат втори възможен ъгъл при синусовата теорема.
- Знак на косинуса при тъп ъгъл.
- Използване на височина, която не съответства на взетата основа.