Какво влиза в темата
Тригонометрията излиза извън триъгълника. Ъгълът вече не е ограничен до [0°; 180°] — може да е произволно голям или отрицателен, а мярката му често се записва в радиани.
Радиан
Радианът е ъгъл, на който отговаря дъга с дължина, равна на радиуса. Връзката с градуси: π радиана = 180°. Затова 90° = π/2, а 60° = π/3.
Преобразуването върви по проста пропорция — умножение с π/180 от градуси към радиани, и обратно с 180/π.
Тригонометрична окръжност
Дефинира функциите за произволен ъгъл чрез координатите на точка от единичната окръжност: cos е абсцисата, sin е ординатата. Оттук веднага следва, че и двете са между −1 и 1 за всеки ъгъл — не само за острите, както беше в девети клас.
Четност, нечетност, периодичност
- cos(−x) = cos x — четна функция
- sin(−x) = −sin x, tg(−x) = −tg x — нечетни функции
- sin и cos имат период 2π; tg и cotg имат период π
Периодичността означава, че стойностите се повтарят: sin(x + 2π) = sin x за всяко x. Затова уравнение като sin x = 1/2 има безброй решения, различаващи се с 2πk.
Основни формули
- sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b
- cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b
- sin 2a = 2 sin a·cos a
- cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
Формулата за cos 2a има три еквивалентни форми — изборът зависи от това дали задачата работи със sin или с cos.
Решен пример
Дадено е sin a = 3/5, a е остър ъгъл. Намерете sin 2a.
От основното тъждество: cos²a = 1 − 9/25 = 16/25, значи cos a = 4/5 (положителен,
защото ъгълът е остър).
sin 2a = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
Графики
Графиките на sin и cos са вълнообразни с амплитуда 1 и период 2π, изместени една спрямо друга с π/2. Графиката на tg има вертикални асимптоти там, където cos x = 0.
Чести грешки
- Смесване на градуси с радиани в едно уравнение.
- cos(a + b) объркано с cos a + cos b — формулата за сбор няма такъв прост вид.
- Загубен знак при sin(−x) поради невярна четност.