Какво влиза в темата
Надграждане на класическата вероятност от девети клас с два нови типа разсъждение — условна вероятност и геометрична вероятност, при която изходите не се броят, а се мерят.
Условна вероятност
P(A|B) е вероятността за A, при условие че B вече се е случило. Формулата: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Теоремата за умножение на вероятностите следва оттук: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A). Използва се при последователни събития — например теглене на два предмета без връщане, където вторият избор зависи от резултата на първия.
Независимост
Събитията A и B са независими, когато P(A|B) = P(A), тоест B не влияе на A. Тогава P(A ∩ B) = P(A) · P(B) — по-простата форма на теоремата за умножение.
Решен пример
В кутия има 5 бели и 3 черни топки. Теглим две без връщане. Каква е вероятността и двете да са бели?
P(първата бяла) = 5/8.
При условие че първата е бяла, остават 4 бели от общо 7: P(втора бяла | първа бяла) = 4/7.
P(и двете бели) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Ако топката се връщаше след първото теглене, събитията щяха да са независими и отговорът щеше да е (5/8)² = 25/64 — различен резултат, защото условията са различни.
Модели с два изхода
При n независими опита, всеки с два възможни изхода, вероятността за точно k успеха се намира чрез комбинации: избира се кои k от n опита са успешни, и се умножава с вероятностите за успех и неуспех.
Геометрична вероятност
Когато изходите не са краен брой, а точки от отсечка или фигура, вероятността се смята като отношение на мерки — дължини или лица — вместо на брой изходи.
- Върху права: P = дължина на благоприятната част / дължина на цялата отсечка
- В равнина: P = лице на благоприятната област / лице на цялата област
Втори решен пример
Точка се избира случайно в квадрат със страна 4. Каква е вероятността да попадне във вписан кръг?
Лице на квадрата: 16. Радиусът на вписания кръг е 2, лицето му е π·4 = 4π.
P = 4π / 16 = π/4 ≈ 0,785.
Чести грешки
- Прилагане на формулата за независими събития, когато не е указана независимост.
- Обръщане на условната вероятност: P(A|B) объркано с P(B|A).
- Броене на изходи вместо мерене на дължина или лице при геометрична вероятност.