Какво влиза в темата
Комбинаториката е първата тема в гимназиалния етап и е напълно нова — в прогимназията я няма. Тя е и основата за вероятностите в девети клас.
Двете основни правила
Правило за умножение — когато изборите са последователни и всички се правят: ако има 4 вида хляб и 3 вида сирене, сандвичите са 4 · 3 = 12.
Правило за събиране — когато изборите са взаимно изключващи се, тоест правим само един от тях: ако имаме 4 вида хляб или 3 вида козунак, изборите са 4 + 3 = 7.
Разграничението е в думите „и“ срещу „или“. Ако се затруднявате, задайте си въпроса дали двете неща се случват заедно или се избира само едното.
Трите съединения
- Пермутации Pn = n! — подреждане на всички n елемента.
- Вариации Vnk = n!/(n−k)! — избираме k от n и редът е важен.
- Комбинации Cnk = n!/[k!(n−k)!] — избираме k от n и редът не е важен.
Целият избор между вариации и комбинации се свежда до един въпрос: има ли значение редът? Класация има ред, комисия няма. Ако размяната на двама души дава друг резултат — вариации; ако дава същия — комбинации.
Решен пример
От 8 души избираме комисия от 3. По колко начина?
Редът в комисия няма значение, значи комбинации:
C83 = 8! / (3! · 5!) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 336 / 6 =
56.
Ако вместо комисия трябваше да изберем председател, секретар и касиер, редът щеше да е важен и отговорът щеше да е 8 · 7 · 6 = 336.
Факториел
n! е произведението на всички числа от 1 до n. По определение 0! = 1 — това не е изключение за запомняне, а следва от формулите.
Чести грешки
- Вариации вместо комбинации — най-честата грешка, дава k! пъти по-голям отговор.
- Събиране вместо умножение при последователни избори.
- Съкращаване на факториели, направено погрешно: 8!/5! е 8 · 7 · 6, не 8!/5.