Какво влиза в темата
Девети клас започва с вероятността и стъпва изцяло на комбинаториката от осми клас. Ако пермутациите и комбинациите не са усвоени, тук всяка задача става непосилна.
Множества
Сечение A ∩ B са общите елементи, обединение A ∪ B са всички. Допълнението на A е всичко извън A. Тези три операции стоят зад цялата тема.
Класическа вероятност
P(A) = брой благоприятни изходи / брой всички изходи, при равновъзможни изходи. Стойността е между 0 и 1.
Когато изходите са много, броенето се прави с формулите за съединения — точно затова комбинаториката стои преди тази тема.
Противоположно събитие
P(Ā) = 1 − P(A). Това е най-полезният инструмент в темата. Ако условието съдържа „поне един“, почти винаги е по-бързо да се пресметне вероятността за „нито един“ и да се извади от единица.
Сума на събития
- Несъвместими (не могат заедно): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Съвместими: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Изваждането във втория случай е, защото общата част иначе се брои два пъти.
Решен пример
От 10 топки — 6 бели и 4 черни — теглим 3. Каква е вероятността поне една да е черна?
По-лесно е през противоположното събитие: всички да са бели.
Начини да изберем 3 бели от 6: C63 = 20.
Всички начини да изберем 3 от 10: C103 = 120.
P(нито една черна) = 20/120 = 1/6.
P(поне една черна) = 1 − 1/6 = 5/6.
Чести грешки
- Вариации вместо комбинации при броене на изходите.
- Събиране на вероятности на съвместими събития без изваждане на сечението.
- Директно броене при „поне един“ вместо през противоположното събитие.