Какво влиза в темата
Тригонометрията започва тук и се разширява в десети и единадесети клас. Засега всичко е в рамките на правоъгълен триъгълник и на остри ъгли.
Определенията
За остър ъгъл в правоъгълен триъгълник:
- sin α = срещулежащ катет / хипотенуза
- cos α = прилежащ катет / хипотенуза
- tg α = срещулежащ катет / прилежащ катет
- cotg α = прилежащ катет / срещулежащ катет
Синусът и косинусът винаги са между 0 и 1, защото катетът е по-къс от хипотенузата. Ако сте получили sin α = 1,4, някъде има грешка.
Основни тъждества
sin²α + cos²α = 1 — това е Питагоровата теорема, записана с отношения.
tg α = sin α / cos α, а cotg α = cos α / sin α, откъдето tg α · cotg α = 1.
Стойности за специалните ъгли
Трите, които трябва да са автоматични:
- 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3
- 45°: sin = cos = √2/2, tg = 1
- 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tg = √3
Не е нужно да се помнят като таблица. Достатъчно е да се начертае половин равностранен триъгълник за 30° и 60° и квадрат с диагонала за 45° — стойностите излизат сами.
Допълващи се ъгли
sin α = cos(90° − α). Затова sin 30° = cos 60° — и двете са 1/2. Тази връзка се пита често и обяснява защо таблицата има симетрия.
Решен пример
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 10 cm и един остър ъгъл е 30°. Намерете срещулежащия катет.
sin 30° = катет / 10, значи катет = 10 · 1/2 = 5 cm.
Съвпада с известното твърдение, че катетът срещу 30° е половината от хипотенузата.
Чести грешки
- Разменени прилежащ и срещулежащ катет — грешка номер едно.
- Използване на синус там, където е нужен тангенс, защото хипотенузата не е дадена.
- sin²α, прочетено като sin(α²).