Какво влиза в темата
Приложение на синусовата и косинусовата теорема от десети клас върху четириъгълници. „Решаване“ на фигура означава намиране на всичките ѝ елементи — страни, ъгли, диагонали — по няколко зададени.
Общ подход
Почти всяка задача се решава по един и същ начин: разлагане на триъгълници чрез диагонал или височина, прилагане на синусова или косинусова теорема във всеки, и после свързване на резултатите.
Успоредник
Диагоналът дели успоредника на два еднакви триъгълника. Ако са дадени двете страни a, b и ъгълът между тях α, диагоналът се намира директно с косинусовата теорема: d² = a² + b² − 2ab·cos α.
Полезна формула за лице: S = a·b·sin α — по-бърза от разлагане на височина, когато ъгълът е известен.
Решен пример
Успоредник има страни 8 cm и 5 cm и ъгъл между тях 60°. Намерете по-късия диагонал.
По-късият диагонал е срещу по-малкия ъгъл. Ъгълът срещу него е 180° − 60° = 120°... но
по-удобно е да се приложи направо косинусовата теорема с дадения ъгъл 60° за диагонала,
който го „вижда“:
d² = 64 + 25 − 2·8·5·cos 60° = 89 − 80·0,5 = 49.
d = 7 cm.
Трапец
Стандартният похват е спускане на височина от края на по-малката основа или транслация на бедро — и в двата случая трапецът се разлага на триъгълник и правоъгълник (или два триъгълника). Оттам нататък се прилагат обичайните формули.
Правилен многоъгълник
Разделя се на n еднакви равнобедрени триъгълника от центъра. Всеки има връх с ъгъл 360°/n, а страната на многоъгълника е основата на триъгълника. Радиусът на описаната окръжност е рамото на този триъгълник, което свързва темата направо с тригонометрията на триъгълник.
Лице на правилен n-ъгълник със страна a: S = n·a²/(4·tg(180°/n)).
Чести грешки
- Объркан по-къс с по-дълъг диагонал в успоредник.
- Приложена формула за трапец без проверка кой елемент липсва.
- Грешен централен ъгъл при правилен многоъгълник — забравено деление на n.