Степен и логаритъм – 11. клас

Какво влиза в темата

Най-обемната тема в единадесети клас. Тя разширява степенуването отвъд целите показатели и въвежда логаритъма — понятие, което в началото изглежда абстрактно, но е просто обратното на степенуването.

Корен n-ти

ⁿ√a е числото, чиято n-та степен е a. При четно n се изисква a ≥ 0 и коренът е неотрицателен; при нечетно n a може да е всяко число, включително отрицателно — ³√(−8) = −2.

Действията с корени от еднаква степен приличат на тези с квадратен корен: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab), а рационализирането на знаменател с корен n-ти изисква умножение с подходяща степен на същия корен, за да се получи под корена пълна n-та степен.

Степен с рационален показател

a^m/n = ⁿ√(a^m), определена за a > 0. Всички правила от целочислените степени продължават да важат: събиране на показатели при умножение, изваждане при деление, умножение при степен на степен. Това е причината записът с дробен показател да е удобен — превръща действията с корени в познатите правила за степени.

Решен пример

Опростете 8^2/3.

8^2/3 = ³√(8²) = ³√64 = 4. По-бързо е първо да се извади коренът: ³√8 = 2, после 2² = 4 — същият отговор с по-малки числа.

Показателна функция

y = aˣ, при a > 0 и a ≠ 1. Графиката минава винаги през (0; 1). При a > 1 функцията е растяща, при 0 < a < 1 е намаляваща. Никога не пресича оста Ox — стойностите ѝ са винаги положителни.

Логаритъм

log_ab е степента, на която трябва да се вдигне a, за да се получи b. Определен е за a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Основните свойства:

• log_a(xy) = log_ax + log_ay
• log_a(x/y) = log_ax − log_ay
• log_a(xⁿ) = n · log_ax

Втори решен пример

Пресметнете log₂32.

Търсим степента, на която 2 дава 32: 2⁵ = 32, значи log₂32 = 5.

Логаритмична функция

y = log_ax е обратна на показателната. Графиката ѝ е огледален образ на показателната спрямо правата y = x — това е най-бързият начин да се запомнят свойствата ѝ: минава през (1; 0), дефинирана е само за x > 0.

Чести грешки

• log_a(x + y) прието за сбор от логаритми — правилото важи само за произведение, не за сбор.
• Пропуснато условие b > 0 при логаритъм, водещо до недопустими решения.
• Смятане, че ⁿ√(aⁿ) винаги е a — при четно n е |a|.