Какво влиза в темата
По програма двете прогресии са една тема, а не две, и в нея влиза и финансовата математика — проста и сложна лихва, депозити, кредити, погасителни вноски. Това е и темата с най-пряко практическо приложение в целия курс.
Аритметична прогресия
Всеки следващ член се получава чрез прибавяне на едно и също число d, наречено разлика.
- Общ член: aₙ = a₁ + (n − 1)d
- Сбор: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, или Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2
Забележете (n − 1), не n. Това е най-честата грешка в темата — до петия член се прибавя четири пъти разликата, не пет.
Решен пример
Аритметична прогресия има a₁ = 4 и d = 3. Намерете a₁₀ и сбора на първите 10 члена.
a₁₀ = 4 + 9 · 3 = 31.
S₁₀ = 10 · (4 + 31) / 2 = 10 · 35 / 2 = 175.
Геометрична прогресия
Всеки следващ член се получава чрез умножение с едно и също число q, наречено частно.
- Общ член: bₙ = b₁ · qn−1
- Сбор: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), за q ≠ 1
Отново степента е n − 1. При q = 1 всички членове са равни и сборът е просто n · b₁ — формулата не важи, защото знаменателят става нула.
Проста и сложна лихва
При проста лихва тя се начислява всяка година върху първоначалната сума: нараснала сума = K(1 + p·n/100). Растежът е аритметичен.
При сложна лихва тя се начислява върху нарасналата сума: нараснала сума = K(1 + p/100)ⁿ. Растежът е геометричен — и точно затова прогресиите и лихвите са в една тема.
Втори решен пример
1000 евро при 5% годишна сложна лихва за 3 години.
1000 · 1,05³ = 1000 · 1,157625 = 1157,63 евро. При проста лихва щеше да е 1150 евро — разликата расте бързо с годините.
Чести грешки
- Степен n вместо n − 1 при общия член.
- Смесване на проста със сложна лихва.
- Прилагане на формулата за сбор на геометрична прогресия при q = 1.