Какво влиза в темата
Първата тема в десети клас надгражда квадратния корен от осми клас и стига до ирационалните уравнения. Тя е основа за показателната и логаритмичната функция в единадесети клас, затова пропуските тук се усещат дълго.
Допустими стойности
Под квадратен корен не може да стои отрицателно число. Затова всяко решаване започва с въпроса за кои x изразът има смисъл. При √(x − 5) условието е x − 5 ≥ 0, тоест x ≥ 5. Ако коренът е в знаменател, условието е строго: подкоренният израз трябва да е положителен.
Рационализиране
Махането на корен от знаменателя става по два начина. При един корен се умножава числителят и знаменателят със същия корен. При сбор или разлика на корени се умножава със спрегнатия израз — този с обърнат знак — и се използва (a − b)(a + b) = a² − b².
Например 1 / (√5 − √3) се умножава по (√5 + √3) и знаменателят става 5 − 3 = 2, тоест резултатът е (√5 + √3) / 2.
Ирационални уравнения
Основният метод е повдигане в квадрат. Той обаче не е еквивалентно преобразувание — може да породи корени, които не стават на изходното уравнение. Затова проверката не е добра практика, а задължителна стъпка от решението.
Решен пример
Решете √(x + 7) = x − 5.
Дясната страна трябва да е неотрицателна, значи x ≥ 5.
Повдигаме в квадрат: x + 7 = x² − 10x + 25, откъдето x² − 11x + 18 = 0.
Корените са x = 9 и x = 2.
Проверка: за x = 9 → √16 = 4 и 9 − 5 = 4 ✓. За x = 2 → √9 = 3, но 2 − 5 = −3 ✗.
Отговор: x = 9. Вторият корен е чужд и се отхвърля.
Уравнения с два радикала
Единият корен се оставя сам от едната страна и се повдига в квадрат. Остава един корен, изолира се и се повдига отново. Ако повдигнете, без да изолирате, получавате двойно произведение с корен и задачата се усложнява.
Чести грешки
- Пропусната проверка и записан чужд корен.
- √(a + b) прочетено като √a + √b. Не е — проверете с a = 9, b = 16: 5 ≠ 7.
- Повдигане в квадрат без изолиране на корена.
- Забравено условие за неотрицателност на дясната страна.