Какво влиза в темата
Тук числовото множество се разширява за последен път в училище — до реалните числа. Появяват се числа като √2, които не могат да се запишат като дроб.
Определение и основно свойство
√a е неотрицателното число, чийто квадрат е a. Определя се само за a ≥ 0.
Оттук следва нещо, което изглежда дребно, но е ключово: √(a²) = |a|, а не a. Ако a е отрицателно, резултатът пак е положителен: √((−5)²) = √25 = 5.
Действия
- √a · √b = √(ab)
- √a : √b = √(a/b), за b > 0
Няма аналогично правило за събиране. √(a + b) не е √a + √b — проверете с 9 и 16: √25 = 5, а 3 + 4 = 7. Това е най-разпространената грешка в темата.
Корени се събират само когато подкоренните величини съвпадат: 3√2 + 5√2 = 8√2, точно както при подобни едночлени.
Изнасяне пред корена
Търси се най-големият точен квадрат, който дели подкоренната величина: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Това е стандартната форма на отговора.
Рационализиране
При един корен в знаменателя се умножава с него: 3/√5 = 3√5/5.
При сбор или разлика се умножава със спрегнатия израз и се използва
(a − b)(a + b) = a² − b².
Решен пример
Опростете 2 / (√7 − √3).
Умножаваме числителя и знаменателя с (√7 + √3):
Знаменателят става 7 − 3 = 4.
Резултатът е 2(√7 + √3) / 4 = (√7 + √3) / 2.
Чести грешки
- √(a + b) прието за √a + √b.
- √(a²) записано като a вместо |a|.
- Събиране на корени с различни подкоренни величини.