Какво влиза в темата
Централната алгебрична тема в осми клас. Квадратните уравнения се появяват после навсякъде — в системите в девети, в неравенствата, в екстремалните задачи.
Дискриминанта
За ax² + bx + c = 0 дискриминантата е D = b² − 4ac и тя определя броя на корените:
- D > 0 — два различни реални корена
- D = 0 — един двоен корен
- D < 0 — няма реални корени
Формулата за корените: x = (−b ± √D) / (2a).
Непълни уравнения
Когато липсва член, формулата не е нужна и е по-бавна:
- ax² + bx = 0 → изнася се x: x(ax + b) = 0, корените са 0 и −b/a.
- ax² + c = 0 → x² = −c/a, има корени само ако дясната страна е неотрицателна.
Решен пример
Решете x² − 7x + 12 = 0.
D = 49 − 48 = 1, значи √D = 1.
x = (7 ± 1) / 2, откъдето x₁ = 4 и x₂ = 3.
Проверка по Виет: сборът е 7 ✓, произведението е 12 ✓.
Формули на Виет
За приведеното уравнение x² + px + q = 0: сборът на корените е −p, а произведението е q.
Използват се за три неща — бърза проверка на намерените корени, определяне на знаците на корените без да се решава, и съставяне на уравнение по зададени корени.
Разлагане на квадратен тричлен
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), където x₁ и x₂ са корените. Това свързва темата с разлагането на множители от седми клас и е нужно за дробните изрази.
Биквадратни уравнения
ax⁴ + bx² + c = 0 се решава с полагане t = x², при условие t ≥ 0. Всяко положително t дава два корена за x — по един с всеки знак. Забравянето на втория е честа грешка.
Чести грешки
- Знак на b във формулата — числителят започва с −b.
- Деление на 2a само на корена, не на целия числител.
- При биквадратно — връщане към x само с положителния корен.