Какво влиза в темата
Надграждане на предишната тема — вече поне едно от уравненията съдържа квадрат или произведение на неизвестните. Методите са същите, но броят решения може да е до четири.
Едно линейно и едно квадратно
Това е основният случай и се решава винаги по един и същ начин: от линейното се изразява едното неизвестно и се замества в квадратното. Получава се квадратно уравнение с едно неизвестно.
Внимание: за всяка намерена стойност трябва да се намери съответната стойност на другото неизвестно, като се използва линейното уравнение. Не се комбинират произволно.
Решен пример
Решете системата x + y = 5 и x² + y² = 13.
От първото: y = 5 − x.
Заместваме: x² + (5 − x)² = 13, тоест x² + 25 − 10x + x² = 13.
2x² − 10x + 12 = 0, откъдето x² − 5x + 6 = 0.
Корени: x₁ = 2 и x₂ = 3.
За x = 2 → y = 3. За x = 3 → y = 2.
Решения: (2; 3) и (3; 2). И двете се проверяват: 4 + 9 = 13 ✓.
Симетрични системи
Когато размяната на x и y не променя системата, решенията идват по двойки, както в примера. Полезен подход е полагането s = x + y и p = x · y, защото често системата се изразява само чрез тях.
Тук помага и връзката с формулите за съкратено умножение: x² + y² = (x + y)² − 2xy, тоест s² − 2p.
Броят решения
Права и парабола може да имат две, една или нула общи точки. Две криви от втора степен може да имат до четири. Ако получите повече, някъде е допуснато нееквивалентно преобразувание.
Чести грешки
- Произволно комбиниране на стойностите на x и y.
- Загубено решение при съкращаване с израз, който може да е нула.
- Проверка само на едната наредена двойка.