Какво влиза в темата
Последната тема в десети клас е и най-новата по характер — досега цялата геометрия беше в равнина. Тук се работи в пространството и главното умение е задачата да се разложи на равнинни.
Взаимни положения
Две прави в пространството може да се пресичат, да са успоредни или да са кръстосани — да не лежат в обща равнина. Третият случай го няма в планиметрията и е източник на повечето грешки.
Права е перпендикулярна на равнина, когато е перпендикулярна на две пресичащи се прави от нея. Само една не стига — това е точната формулировка, която се търси на изпит.
Ъгли в пространството
Ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната ортогонална проекция върху равнината. Ъгълът между две равнини се измерва чрез линейния ъгъл на двустенния — построява се с два перпендикуляра към пресечницата, по един във всяка равнина.
Обеми и повърхнини
- Права призма: V = B·h, S = 2B + Pоснова·h
- Пирамида: V = B·h / 3
- Цилиндър: V = πr²h, S = 2πr(r + h)
- Конус: V = πr²h / 3, S = πr(r + l), където l е образуващата
- Сфера и кълбо: S = 4πr², V = 4πr³ / 3
Обърнете внимание на тройката: пирамидата и конусът са една трета от призмата и цилиндъра със същата основа и височина.
Решен пример
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Намерете обема и апотемата на околната стена.
Основата е квадрат с лице 36 cm², значи V = 36 · 4 / 3 = 48 cm³.
Апотемата се намира от правоъгълен триъгълник с катети височината 4 и половината от
основния ръб 3: k = √(16 + 9) = 5 cm.
Втората част е типична — стереометричната задача се сведе до един правоъгълен триъгълник и Питагоровата теорема.
Как да се подготвите
Правете чертеж и извеждайте от него отделен равнинен чертеж на триъгълника, с който работите. Почти всяка задача от тази тема се решава в един правилно избран правоъгълен триъгълник.