Какво влиза в темата
„Цели изрази“ е първата и най-обемна тема в седми клас. В нея влизат три неща, които много ученици търсят поотделно, но по учебната програма са части от един раздел: действията с едночлени и многочлени, формулите за съкратено умножение и разлагането на множители. Ако търсите отделен урок за формулите — той е тук.
Едночлени и многочлени
Едночлен е произведение от число и променливи със степени: 5x³y². Числото отпред е коефициент, а сборът от степените на променливите е степента на едночлена — при 5x³y² тя е 5, а не 3. Подобни едночлени са тези, които се различават само по коефициент; само те могат да се събират: 4x + 7x = 11x, но 4x + 7x² не се събира.
Многочлен е сбор от едночлени. Записан в нормален вид означава, че подобните са приведени и членовете са подредени по намаляващи степени. При умножение на многочлен с многочлен всеки член от първия се умножава с всеки член от втория.
Формули за съкратено умножение
Четирите, които програмата изисква:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
- (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
Работят и в двете посоки. Отляво надясно развиват израза, отдясно наляво го разлагат — и второто е по-често търсеното на изпит.
Решен пример
Развийте (2x + 3)².
Тук a = 2x и b = 3. Тогава a² = 4x², 2ab = 2 · 2x · 3 = 12x, b² = 9. Отговорът е 4x² + 12x + 9. Най-честата грешка е да се напише 4x² + 9 — средният член просто се забравя.
Разлагане на множители
Три подхода, обикновено в тази последователност:
- Изнасяне на общ множител: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
- По формула: x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
- Групиране: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Правилото е първо да проверите за общ множител, чак после за формула. Ако започнете с формулата, често оставяте задачата недовършена.
Чести грешки
- Забравен среден член при квадрат на сбор или разлика.
- Смятане, че (a + b)² = a² + b². Не е — проверете с a = 1, b = 1: 4 ≠ 2.
- Объркване на степента на едночлен със степента на една променлива.
- Загубен знак при изваждане на многочлен: a − (b − c) = a − b + c.
Как да се подготвите
Темата стъпва на автоматизъм — формулите трябва да се разпознават мигновено, и в двете посоки. Направете тест само върху „Цели изрази“ и го повторете няколко пъти; задачите се генерират наново всеки път, така че не ги запаметявате.