Какво влиза в темата
Неравенствата приличат на уравненията, но имат едно правило, което ги прави подвеждащи. В темата влиза и едно чисто геометрично твърдение — неравенството на триъгълника.
Правилото, което променя всичко
При умножение или деление на двете страни с отрицателно число знакът на неравенството се обръща. −2x > 6 дава x < −3, а не x > −3.
Събирането и изваждането не обръщат знака, независимо от знака на числото. Обръща се само при умножение и деление с отрицателно.
Решен пример
Решете 3 − 2x ≥ 9.
Изваждаме 3 от двете страни: −2x ≥ 6.
Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −3.
Решението е интервалът (−∞; −3].
Проверка с x = −4: 3 − 2·(−4) = 11 ≥ 9 ✓. Проверка с x = 0: 3 ≥ 9 ✗ — правилно
изключено.
Числови интервали
Кръгла скоба означава, че краят не влиза, квадратна — че влиза. При < и > скобата е кръгла, при ≤ и ≥ е квадратна. Към безкрайност скобата винаги е кръгла.
Полезно е решението да се изобразява и върху числова ос — на изпит това предпазва от грешен знак и помага при сравняване на две решения.
Неравенство на триъгълника
Всяка страна е по-малка от сбора на другите две. Затова от отсечки 3, 4 и 8 не може да се построи триъгълник: 3 + 4 = 7 < 8. Проверява се само с най-дългата страна — ако тя мине, останалите също минават.
Свързано твърдение: срещу по-голяма страна в триъгълник лежи по-голям ъгъл и обратно. Така от подредбата на страните веднага следва подредбата на ъглите.
Чести грешки
- Забравено обръщане на знака при деление с отрицателно число.
- Смяна на кръгла с квадратна скоба при записване на интервала.
- Проверка на неравенството на триъгълника само с една двойка страни.
Как да се подготвите
Правете проверка с конкретно число от полученото решение и с едно извън него. Отнема пет секунди и хваща почти всяка грешка със знака.