Какво влиза в темата
Успоредникът е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Темата има две ясно различни части — свойства (какво следва, ако фигурата е успоредник) и признаци (какво е достатъчно, за да твърдим, че е успоредник). Задачите за доказване почти винаги искат признак, а задачите за пресмятане — свойство.
Свойства
- Срещуположните страни са равни.
- Срещуположните ъгли са равни.
- Прилежащите ъгли се допълват до 180°.
- Диагоналите взаимно се разполовяват.
Признаци
Четириъгълник е успоредник, ако е изпълнено кое да е от следните:
- Срещуположните страни са две по две успоредни.
- Срещуположните страни са две по две равни.
- Две срещуположни страни са едновременно равни и успоредни.
- Диагоналите се разполовяват.
- Срещуположните ъгли са две по две равни.
Третият е най-икономичен и се използва най-често в доказателства.
Решен пример
Успоредник има ъгъл 68°. Намерете останалите три ъгъла.
Срещуположният му ъгъл също е 68°. Прилежащите се допълват до 180°, значи другите два са 180° − 68° = 112° всеки. Проверка: 68 + 112 + 68 + 112 = 360° ✓.
Частните случаи
- Правоъгълник — успоредник с прав ъгъл. Диагоналите му са равни.
- Ромб — успоредник с равни страни. Диагоналите му са перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите.
- Квадрат — едновременно правоъгълник и ромб, тоест има всички изброени свойства.
Обърнете внимание кое кое влече: всеки квадрат е ромб, но не всеки ромб е квадрат. Този тип въпрос се среща често.
Чести грешки
- Приписване на равни диагонали на всеки успоредник — вярно е само за правоъгълник и квадрат.
- Приписване на перпендикулярни диагонали на всеки успоредник — само при ромб и квадрат.
- Използване на свойство вместо признак при доказване. От „това е успоредник“ следва, че диагоналите се разполовяват; обратната посока изисква признак.