Какво влиза в темата
Тук за първи път се доказва, а не само се смята. Признаците за еднаквост са инструментът, с който се доказва, че две отсечки или два ъгъла са равни.
Трите признака
- Страна – ъгъл – страна: две страни и ъгълът между тях.
- Ъгъл – страна – ъгъл: две ъгли и страната между тях.
- Страна – страна – страна: и трите страни.
Три равни ъгъла не са признак за еднаквост. Такива триъгълници са подобни — еднаква форма, различен размер. Това е класически капан.
Как се пише доказателство
Схемата е винаги една и съща: посочвате двата триъгълника, изброявате трите равенства с обосновка за всяко, назовавате признака, и от еднаквостта вадите това, което ви трябва.
Решен пример
В равнобедрен триъгълник ABC с AC = BC, CM е медиана към AB. Докажете, че CM е и височина.
Разглеждаме триъгълниците ACM и BCM.
AC = BC (дадено), AM = BM (CM е медиана), CM = CM (обща страна).
По признака страна – страна – страна двата триъгълника са еднакви. Значи
∠AMC = ∠BMC. Но те са съседни, тоест сборът им е 180°, откъдето всеки е 90°.
Следователно CM ⟂ AB, тоест CM е височина.
Равнобедрен триъгълник
Ъглите при основата са равни. Медианата към основата е едновременно ъглополовяща, височина и лежи на симетралата на основата — четири в едно. Обратното също е вярно и служи за доказване, че триъгълник е равнобедрен.
Две твърдения, които спестяват време
- Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата.
- Катетът срещу ъгъл от 30° е равен на половината от хипотенузата.
И двете се срещат постоянно на изпит и в двете посоки.
Свойства на симетрала и ъглополовяща
Всяка точка от симетралата на отсечка е на равни разстояния от краищата ѝ. Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от рамената на ъгъла. Тези две свойства често са по-краткият път от пълното доказателство с еднакви триъгълници.
Чести грешки
- Използване на „ъгъл – ъгъл – ъгъл“ като признак.
- При страна – ъгъл – страна ъгълът да не е между двете страни.
- Съответните върхове да не са изброени в един и същ ред.