Какво влиза в темата
Обобщение на всички видове уравнения от гимназията в един раздел — модулни, показателни, логаритмични и тригонометрични.
Модулни уравнения
|ax + b| = c се решава чрез два случая, ax + b = c и ax + b = −c, стига c ≥ 0. За уравнение от вида ax² + bx + c = m важи същият принцип — целият израз под модула се приравнява последователно на m и на −m.
Показателни уравнения
Основното: aˣ = aⁿ е равносилно на x = n, защото показателната функция е монотонна и приема всяка стойност точно веднъж. Ако страните не са с еднаква основа, тя се привежда чрез свойствата на степените.
Уравнения като a²ˣ − 5·aˣ + 4 = 0 се решават с полагане t = aˣ, при задължителното условие t > 0. Получава се квадратно уравнение за t, а всяко негово отрицателно или нулево решение веднага отпада.
Решен пример
Решете 22x − 6·2ˣ + 8 = 0.
Полагаме t = 2ˣ, t > 0: t² − 6t + 8 = 0, откъдето t₁ = 4, t₂ = 2.
И двете са положителни, значи и двете важат.
2ˣ = 4 → x = 2. 2ˣ = 2 → x = 1.
Отговор: x = 1 и x = 2.
Логаритмични уравнения
logax = logay е равносилно на x = y, при допустими x > 0 и y > 0. Проверката на допустимите стойности тук е не по-малко важна, отколкото при ирационалните уравнения — логаритъм от отрицателно число или от нула няма смисъл.
Уравнения, свеждащи се до квадратни, минават през полагане t = logax, без ограничение за знака на t, защото логаритъмът може да е всяко реално число.
Основни тригонометрични уравнения
sin x = a има решение само при −1 ≤ a ≤ 1 и решенията са безброй, защото функцията е периодична. За специални стойности на a — като 1/2, √2/2, √3/2 — решенията се записват чрез познатите ъгли плюс период 360°k (или 2πk в радиани).
Уравнения, свеждащи се до квадратни спрямо sin x или cos x, се решават с полагане по същия принцип, но с ограничение стойността на новото неизвестно да е между −1 и 1.
Чести грешки
- Пропуснато условие t > 0 при показателно полагане.
- Пропусната проверка за допустими стойности при логаритмично уравнение.
- Записано само едно решение на тригонометрично уравнение вместо цялото семейство.