Какво влиза в темата
Пети клас започва изненадващо — не с преговор на естествените числа, а направо с делимост. Темата изглежда самостоятелна, но всъщност е инструментът, с който после се съкращават дроби и се привеждат под общ знаменател. Пропуск тук се усеща през цялата година.
Делител и кратно
Числото a е делител на b, ако b се дели на a без остатък. Тогава b е кратно на a. Двете думи описват едно и също отношение от двете страни: 4 е делител на 12, а 12 е кратно на 4.
Признаци за делимост
- На 2 — последната цифра е четна.
- На 5 — последната цифра е 0 или 5.
- На 3 — сборът на цифрите се дели на 3.
- На 10 — последната цифра е 0.
Признакът за 3 е единственият, който не гледа последната цифра, и точно затова се забравя. При 4587 сборът е 4 + 5 + 8 + 7 = 24, което се дели на 3, значи и числото се дели.
Прости и съставни числа
Простото число има точно два делителя — 1 и себе си. Съставното има повече. Единицата не е нито просто, нито съставно — има само един делител. Това е любим въпрос на изпит.
Първите прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Двойката е единственото четно просто число.
НОД и НОК
Разлагаме на прости множители и после:
- НОД — общите множители с най-малката степен.
- НОК — всички множители с най-голямата степен.
Решен пример
Намерете НОД и НОК на 12 и 18.
12 = 2² · 3, а 18 = 2 · 3².
НОД: общите са 2 и 3, взимаме най-малките степени → 2 · 3 = 6.
НОК: взимаме най-големите степени → 2² · 3² = 36.
Проверка: 6 · 36 = 216 = 12 · 18 ✓ — произведението на НОД и НОК винаги е равно на
произведението на двете числа.
Чести грешки
- Смятане, че 1 е просто число.
- Разменяне на НОД и НОК — НОД е малкото, НОК е голямото.
- Проверка за делимост на 3 по последната цифра.