Какво влиза в темата
Пропорциите са най-практичната тема в шести клас — мащаби, рецепти, отстъпки, лихви. Тук по програма влизат и процентите.
Отношение и пропорция
Отношението a : b е частното на две числа. Пропорцията е равенство на две отношения: a : b = c : d.
Основно свойство: произведението на крайните членове е равно на произведението на средните, тоест a · d = b · c. Оттук се намира всеки неизвестен член — това е познатото „кръстосано умножение“.
Решен пример
Намерете x от 3 : 5 = 12 : x.
3 · x = 5 · 12 = 60, откъдето x = 20.
Права и обратна пропорционалност
При права пропорционалност двете величини се увеличават заедно и частното им е постоянно: повече метри плат — пропорционално повече пари.
При обратна едната расте, а другата намалява, и произведението им е постоянно: повече работници — по-малко време за същата работа.
Разпознаването кой от двата случая е даден решава задачата. Проверката е проста: запитайте се дали при удвояване на едното другото се удвоява или се полови.
Проценти
Процентът е стотна част, затова всяка задача за проценти е задача за пропорция. Основните три вида:
- Колко е p% от a → a · p / 100
- Числото, чиито p% са b → b · 100 / p
- Колко процента е b от a → b · 100 / a
Втори решен пример
Цена от 80 евро се намалява с 15%, после новата цена се увеличава с 15%. Каква е крайната цена?
След намалението: 80 · 0,85 = 68 евро.
След увеличението: 68 · 1,15 = 78,20 евро.
Не се връщаме на 80, защото вторите 15% се смятат върху по-малка основа. Това е
най-често задаваният „капан“ в темата.
Чести грешки
- Права вместо обратна пропорционалност при задачи за работници и време.
- Проценти, смятани върху грешната основа.
- Разменени крайни и средни членове при основното свойство.